微分形式与方程的 保结构离散与多尺度求解

时 间(4月 1日-5月31日）: 周一10-11节(6:40pm-8:30pm), 地点三教406 与周三1-2节(8am-9:50am)，地点: 二教423）

授课教师:许进超教授   邮箱: xu@math.psu.edu

美国宾州州立大学Pentz 理学讲习教授，北京大学长江讲座教授

• Chapter 1: Examples of PDEs and Discretizations
• Chapter 2: Basic Linear Iterative Methods
• Chapter 3: The Conjugate Gradient Methods and Preconditioning Techniques
• Chapter 4: The Method of Subspace Corrections
  

选课须知：

本课程针对已修完线性代数和 多元微积分的学生与科研人员设计，提供相应讲义与文献, 给有兴趣的学生提供并指导科研课题(定期开讨论班)。作业占70%，期末(take-home)考试占30% (也可以用科研课题代替)。

内容介绍：

微分方程及相关的大规模线性 方程组的求解是科学工程计算的基本问题。本课程试图从零开始，循序渐进、深入浅出的系统介绍这两个方向的主要内容和思想方法，并导向相关 研究的前沿问题。

本课程首先以Poisson方程为例简单介绍有限差分与有限 元方法，并通过对相应的离散代数方程组的性态与求解方法的研究，在子空间矫正方法的框架下系统分析Jacobi 与 Gauss-Seidel等经典的迭代法，进而介绍区域分解法和多重网格法(如V-cycle算法及Bramble-Pasciak-Xu预处理子)的基 本思想与算法精髓， 并基于Xu-Zikatanov恒等式给出这些方法的收敛性、最优性的理论分析。在此基础上，引导有兴趣的学生研究适用于现代超大规 模并行计算机的容错算法，以及基于随机或贪婪排序的子空间矫正方法。

研究实践表明，基于微分形式(differential form)的保结构离散思想对于微分方程数值方法的设计具有特殊的指导意义。本课程用初等方法介绍微分形式的基本概念，包 括 alternating form，wedge product，exterior derivative与相关微分几何的基本概念，并扼要介绍Stokes定理的一般形式以及De Rham 定理。在此基础上，介绍保结构离散及相应的快速求解器(Hiptmair-Xu 预处理方法)，以及其在一大类数学物理模型(如电磁场方程) 的应用。最后，本课程将再次以基本的 Poisson 方程为例，研究其在 Hodge－Laplace 算子观点下的不同形式的离散和求解方法。这将加强对偏微分方程数值解中常出现(但不常为人知的)假收敛性现象的认识，和进一步加深对保结构离散和高效求解 器的理解。

• Iterative Methods by Space Decomposition and Subspace Correction, J. Xu, SIAM Rev. 34(4), pp. 581--613, 1992.
• The Method of Alternating Projections and the Method of Subspace Corrections in Hilbert Space, J. Xu and L. Zikatanov, J. Amer. Math. Soc., 15, pp. 573--597,  2002.
• Nodal Auxiliary Space Preconditioning in H(curl) and H(div) Spaces, R. Hiptmair and J. Xu, SIAM J. Numer. Anal., 45, 2483--2509, 2007.
• Lecture Notes: The Method of Subspace Correction, J. Xu.
  
• Lecture Notes: Differential Forms, Stokes Theorem and Finite Elements, J. Xu and L. Zikatanov.
  
• Finite Element Exterior Calculus, Homological Techniques, and Applications, D. Arnold, R. Falk, and R. Winther, Acta Numer. 15, pp. 1--155, 2006.
• Finite Element Exterior Calculus: From Hodge Theory to Numerical Stability, D. Arnold, R. Falk, and R. Winther, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 47(2), pp. 281--354, 2010.
• Mathematical Methods for Classical Mechanics, V.I. Arnold, Springer, ISBN-13:978-0387968902.
• Numerical Linear Algebra, N. Trefethen and D. Bau, SIAM, ISBN-13:978-0898713619.
• The Mathematical Theory of Finite Element Methods, S. Brenner and S. Scott, Springer, ISBN-13:978-0387759333.
• Lecture Notes on Numerical Analysis of Partial Differential Equations, D. Arnold.